不定积分公式总结

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2 (这是有理函数分解后一种形式的积分的求法,大家可以回顾课本恢复记忆) 三、普遍方法 (一)换元积分法: 第一类换元积分法(凑微分法) 这类方法需要敏锐的观察力, 即观察出某个函数的导数,这就要求我们熟悉常见 函数的导数。

首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子 x 例 1: ∫ dx √5 + x ? x 2 注意到分母根号下为二次,其导数为一次,而分子正好就是一次,通过凑微分和 配方可以得到解决。

∫ x √5 + x ? x 2 dx = ∫ 1 1 ? 2 (?2x + 1) + 2 √5 + x ? x 2 dx 1 d(5 + x ? x 2 ) 1 1 =? ∫ + ∫ dx 2 2 √5 + x ? x 2 √5 + x ? x 2 1 = ?√5 + x ? x 2 + ∫ 2 dx √(√21)2 ? (x ? 1)2 2 2 1 2x ? 1 = ?√5 + x ? x 2 + arcsin( )+C 2 √21 x3 例 2: ∫ 4 dx x + x2 + 1 与例 1 类似,我们有: 1 1 (4x 3 + 2x) ? x x3 4 2 dx ∫ 4 dx = ∫ x + x2 + 1 x4 + x2 + 1 1 d (x 2 + 2) 1 d(x 4 + x 2 + 1) 1 = ∫ 4 ? ∫ 2 后面套公式就好啦 2 4 x + x2 + 1 4 1 √3 (x 2 + 2) + ( 2 ) dx 1 + sin2 x dx 1 dx d(tan x) ∫ =∫ =∫ cos2 x + 2sin2 x cos 2 x 1 + 2tan2 x 1 + 2tan2 x 例 3: ∫

不定积分公式总结

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4 令一种解法: ∫ cos4 t dt = ∫ cos2 t(1 ? sin2 t) dt = ∫ cos 2 t dt ? ∫ cos2 t sin2 tdt 利用倍角公式可以解出。

(2)倒代换,经常用在分母多项式次数较高的情况下 √a2 ? x 2 1 例: ∫ dx ,令 x = ,容易求出原函数 x4 t (二)分部积分法 ∫ μdν = μν ? ∫ νdμ 应用分部积分法时,需要把被积函数看作两个因式 μ 及 dν 之积,如何 选取这两者是很关键的,选取不当,将使积分愈化愈繁. 积分时应注意 dν 比较好积,同时 μ 的选取应使其倒数比 μ 简单,两者应兼顾。

例: ∫ xearctan x 3 dx =e arctan x x √1 + x 2 1 ?∫ earctan x (1 + x 2 )2 =e arctan x (1 + x 2 )2 3 3 dx x √1 + x 2 x?1 √1 + x 2 ? [e arctan x √1 + x 2 xearctan x 3 dx ?∫ ?xearctan x (1 + x 2 )2 dx] = earctan x ?∫ (1 + x 2 )2 x?1 2√1 + x 2 则: ∫ xearctan x (1 + x 2 )2 3 dx = earctan x + C 这个函数就有多种拆分方法,需要我们多尝试几次才能解出,并且用到了 轮换,应注意。

其实 ∫ sin(ln x) dx 也用到了轮换,详情请查阅教材 165 页。

一般情况下,被积函数形如eax sin bx ,eax cos bx, Pm (x)eax ,Pm (x) sin bx , Pm (x) cos bx ,Pm (x)(ln x)n ,Pm (x) arctan x , ? 就可以尝试分部积分法轻松 求得原函数,其中Pm (x)表示 m 次多项式。

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